Расчет балки на изгиб, прогиб и прочность, включая калькулятор

Расчет металлической балки на прогиб: учимся составлять формулы

Расчет балки на изгиб, прогиб и прочность, включая калькулятор

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости.

Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет.

Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

  • в опорах прогибы равны нулю;
  • в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

\[ { V }_{ A }=0\quad при\quad x=0 \]

\[ { V }_{ B }=0\quad при\quad x=8м \]

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=… \]

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+ … \]

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+… \]

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

  • Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:
  • Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:
  • Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:

\[ M\cdot \frac { { x }{ 2 } }{ 2 } \]

  • Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:

\[ F\cdot \frac { { x }{ 3 } }{ 6 } \]

  • Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

\[ q\cdot \frac { { x }{ 4 } }{ 24 } \]

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }{ 4 } }{ 24 } \]

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ B }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+\frac { { R }_{ A }\cdot { 8 }{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 8 }{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot 6{ 4 } }{ 24 } +\frac { q\cdot 2{ 4 } }{ 24 } =0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+874.67=0 \]

Выражаем угол поворота:

\[ { \theta }_{ A }=-\frac { 874.67 }{ 8E{ I }_{ z } } =-\frac { 109.33кН{ м }{ 2 } }{ E{ I }_{ z } } \]

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=\frac { -109.33\cdot 4E{ I }_{ z } }{ E{ I }_{ z } } +\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }{ 4 } }{ 24 } =-\frac { 280кН{ м }{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } \]

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

\[ { V }_{ C }=-\frac { 280кН{ м }{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } =-\frac { 280\cdot { 10 }{ 9 }Н\cdot { см }{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }{ 7 }\frac { Н }{ { см }{ 2 } } \cdot 7080{ см }{ 4 } } =-2см \]

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

Расчет деревянных балок перекрытия на прочность: онлайн калькулятор

Расчет балки на изгиб, прогиб и прочность, включая калькулятор

Перекрытие дома, устроенное по деревянным балкам – один из самых популярных вариантов при строительстве частных домов. Однако такой выбор требует обязательного расчета нагрузки на балку и грамотного выбора ее сечения, шага установки балок. Для упрощения этих расчетов мы предлагаем воспользоваться простым онлайн-калькулятором.

Основы вычислений

Для начала следует понять, что именно требуется рассчитать. Дело в том, что деревянный брус или доска балки под нагрузкой способно изогнуться до определенного предела – эта величина называется пределом прочности – и при дальнейшем увеличении нагрузки сломаться.

Под действием нагрузки изогнувшаяся балка может также выскользнуть из креплений. Чтобы избежать этого или хотя бы снизить риск такой неприятности, деревянные балки стараются заделать в кладку дома или прикрепить с помощью кронштейнов, уголков и других видов деталей к деревянной стене дома.

Используют также врубку балки в венец стены. Все такие виды фиксации считаются жесткой заделкой.

Вот так примерно выглядит расчетная схема для однопролетной балки, то есть изделие, у которого закреплены только концы. Здесь L – пролет балки, расстояние между опорными точками, Q – распределенная нагрузка, f – величина прогиба.

Основой для расчета предельно допустимого прогиба, как и источником других данных о работе деревянных конструкций, является СП 64.13330.2011. Согласно этому документу, предельный прогиб балки для межэтажных перекрытий не должен превышать 1/250 часть длины пролета.

То есть для балки с длиной 6 м допустимый прогиб составит 24 мм. Если же брать более строгие значения (для штукатурки на потолке и требующих строгой плоскости пола второго этажа напольных покрытий, например, плитки) – 1/350, допустимый прогиб уменьшается до 17 мм.

В целом для вычислений используют формулу f=L/350, при этом длину пролета указывают в миллиметрах.

Таблица 1.1. Допустимый прогиб деревянных конструкций.

Соответственно, при расчете балки на прочность в онлайн-калькуляторе или вручную следует уменьшать сечение только до тех пределов прогиба, которые меньше вычисленного значения.

На иллюстрации выше показана расчетная схема для распределенной нагрузки, то есть такой, которая равномерно распределяется по всей балке. Обычно в жилых помещениях используется именно эта схема.

Однако при размещении в комнате мебели или оборудования большого веса, особенно не возле стены (на которую опирается край балки), а на некотором удалении от нее, иногда бывает разумнее использовать схему расчета для сосредоточенной нагрузки.

Вот так примерно создается сосредоточенная нагрузка на балку.

Таблица 1.2. Схемы расчета деревянных балок с одной сосредоточенной нагрузкой.

Здесь и далее Е – модуль упругости древесины Е=100 000 кгс/м2), I – осевой момент инерции балки.

Таблица 1.3. Схемы расчета деревянных балок с двумя сосредоточенными нагрузками.

Таблица 1.4. Расчет балки с двусторонним жестким защемлением при равномерно-распределенной нагрузке.

В зависимости от того, куда именно приложены нагрузки и в каком количестве, используется расчетная схема соответствующего типа.

Для бруса, защемленного в стене только одним концом (консольное крепление), используются другие формулы расчета деревянной балки на прочность. Обычно такие вычисления нужны при проектировании навесов на деревянных балках-опорах, больших вылетов крыши и других подобных случаях.

Таблица 1.5. Расчет консольной балки при одной сосредоточенной нагрузке.

Таблица 1.6. Расчет консольной балки при одной неравномерно-распределенной нагрузке.

Таблица 1.7. Расчет консольной балки при одной равномерно-распределенной нагрузке.

Формулы кажутся громоздкими и сложными, но фактически обычному пользователю при расчете деревянных балок перекрытия важно просто представлять себе характер распределения действующих на балку сил и понимать – чтобы соблюсти условия прочности, необходимо правильно выбрать схему приложения нагрузок.

Упрощенный расчет балок перекрытия из дерева на прочность

В частном строительстве в основном используется схема 2.1 из таблицы 1.4, то есть равномерно распределенная по всей длине балки от стены до стены нагрузка. Ее величина определяется исходя из таблиц или экспериментально.

Поскольку балка работает не сама по себе, а в комплексе с другими, для расчета требуется информация о шаге расположения балок (на схеме Р).

Нагрузка на балки определяется типом перекрытия – чердачным или межэтажным. СНиП 2.01.07-85 дает такие данные (в кгс/м.кв. или в кПа, в скобках второе число):

  • для чердачных перекрытий 130…245 (1,3…2,45);
  • для мансарды 350 (3,5);
  • для межэтажного перекрытия 400 (4).

В соответствии с планируемыми длиной пролета, шагом балок (0,5 или 1 м) и ориентировочной нагрузкой выбирается сечение балки в сантиметрах по таблице 1.8.

Далее расчет ведется, исходя из условия прочности – максимальный изгибающий момент, деленный на момент сопротивления балки при изгибе, должен быть меньше предельно допустимого напряжения.

σ_max= M/W≤[σ]

Для расчета момента используем формулы, приведенные в соответствующей таблице, для равномерно распределенной нагрузки на балку с защемлением в обоих концах это

M= (ql2)/24

Момент сопротивления при изгибе прямоугольной балки

W= (bh2)/6

Таким образом, расчет деревянной балки на прочность производим по формуле

σ= ((ql2)/24) ⁄ ((bh2)/6)

Для примера возьмем пролет 3 м, балки в межэтажном перекрытии расположены с шагом 0,5 м, сечение (по таблице 1.8) 50х180 мм. Эти цифры дадут (с учетом перевода всех составляющих в единую размерность)

σ=((45000×32)/24) ⁄ ((0,05×0,182)/6)=1687.5/0,00027=6250000 Па=6.2 МПа

Что намного меньше предела прочности для сосны на изгиб (σ_max=79 МПа). Таким образом, расчетное значение сечения балки полностью удовлетворяет условию прочности и дает возможность нагрузить перекрытие даже больше, чем это предполагает СНиП.

Расчет перекрытия по деревянным балкам на допустимый изгиб

Из таблицы 1.4 видно, что максимальный допустимый изгиб балки должен составлять

f=(ql4)/384EI

Поскольку Е в этой формуле, как уже говорилось, это модуль упругости древесины, а I – это осевой момент инерции балки, необходимо найти модуль для конкретного вида древесины и рассчитать осевой момент по формуле c учетом того, что осевой эта величина измеряется в см4, то есть ширину балки b необходимо вставлять именно в сантиметрах.

I=(ba3)/12=(5×183)/12=2430

Подставляя полученное значение в формулу расчета прогиба, получаем величину прогиба в метрах.

f= (45×103×34)/(384×100×2430)=0,039

Важно: перед подстановкой в формулу все данные приводятся к измерению в метрах! В противном случае ошибка расчета может составить до 4 порядков.

С учетом того, что для пролета 3 м максимально допустимый прогиб составляет одну трехсотую длины пролета, то есть 10 см, расчетное значение 3,9 см более чем удовлетворяет условиям задачи.

Заключение

Как видно из таблицы, выбранное значение сечения балки полностью обеспечивает выполнение условия прочности балки и дает прогиб значительно меньше допустимого. Таким образом, для черновых расчетов в частном строительстве можно спокойно пользоваться табличными данными, на всякий случай проверяя значения в онлайн-калькуляторе.

Расчет балки на изгиб, прогиб и прочность, включая калькулятор – Токарь Мастер

Расчет балки на изгиб, прогиб и прочность, включая калькулятор

Расчет двутавра делают для выбора его номера из сортамента, когда проектируется строительство. Он должен проводиться согласно формулам и таблицам, так как выбор балки “на глаз” не допустим. Все величины должны соответствовать стандартам. От полученных параметров будет зависеть качество строительства, так как балки применяются, в основном, для перекрытий.

Какие параметры могут понадобиться для расчета?

Изначально требуется знать следующие параметры, без которых произвести расчет невозможно:

  • Длина двутавровой балки (расстояние между стенами с учетом их толщины, балка должна лежать свободно и быть прикрепленной неподвижно);
  • Примерная нагрузка на перекрытие (с учетом верхнего жилого этажа, мебели наверху, на крыше – осадков, снега, который будет оказывать давление зимой);
  • Шаг (расстояние, через которое укладываются двутавры параллельно один к другому; рекомендуемая величина 1 м, в редких случаях можно увеличить до 1,2 м).

Справочные значения по осям

Расчет на прочность невозможно сделать без знания осевого момента сопротивления. Этот параметр берут в таблице сортамента. Подразумевается его значение относительно центральных осей. Также используется такое значение, как центробежный момент. Данную величину таблица не обозначает, потому что по умолчанию она равна нулю по обеим осям.

Другие параметры

Кроме этого таблица сортамента содержит следующие параметры:

  • Радиус инерции;
  • Осевой момент инерции;
  • Статистический момент инерции.

Примеры расчетного сопротивления

Для расчета двутавровой балки может потребоваться такая величина, как расчетное сопротивление (Ry). Она зависит от марки стали, из которой произведена балка. Например, приведены готовые величины:

  • С 235 – 230 МПа;
  • С 345 – 335 МПа;
  • С 255 – 250 МПа.

Модуль упругости берут одной величиной, равной для стали: Е = 200 000 МПа. Расчет нагрузки двутавровой балки осуществляется на основе вычислений несущей способности. К этой цифре прибавляют 30% на прочность (это относится лишь к сварным профилям).

Выбор номера профиля (примеры)

Согласно таблице, по которой осуществляется выбор номера по предполагаемой нагрузке, величины пролета и шага, выбираются следующие модели профилей:

  • Номер 16 (при нагрузке 300 кг/м. п., пролет 6 м, шаг 1 м);
  • Номер 20 (при нагрузке 400 и 500 кг/м. п., пролет 6 м, шаг 1,1 м и 1,2 м);
  • Номер профиля 10 (при нагрузке 300 кг/м. п., пролет 4 м и 3 м, шаг 1 м).

Расчетная нагрузка на двутавровую балку вычисляется так:

  1. 1. Давление на перекрытие, включая вес самого перекрытия, пересчитывается на 1 погонный метр балки.
  2. 2. Полученное число умножается на коэффициент надежности согласно ГОСТ 8239-89.
  3. 3. На основании нагрузки находят момент сопротивления (по таблице основных расчетных значений ГОСТ 8239-89).
  4. 4. По моменту сопротивления определяют номер профиля из сортамента согласно ГОСТ 8239-89. При этом лучше выбирать номер на 2 значения выше.

Следует отметить, что несущая способность учитывает именно расчетную нагрузку, но не нормативную. Также несущая способность берется при расчете на изгиб.

Прочность

Прочность двутавровой балки определяется по нормативным напряжениям. При этом осуществляют построение эпюр напряжений, перемещений и внутренних усилий. Они основаны на следующих параметрах:

  • Поперечные и продольные силы;
  • Изгибающие и крутящие моменты.

Учет марки стали при определении прочности

Когда выполняется вычисление прочности, учитывается марка стали. Для сложных климатических условий двутавровая балка изготавливается из не хрупкой стали. Лучше выбирать максимально прочные марки. Здесь следует учитывать, что изделие более высокой прочности может иметь габариты меньше и, значит, величина допустимого давления будет меньше.

Именно поэтому грамотный расчет прочности выполняется в нескольких разных вариантах, затем параметры сравнивают. Для определения прочности надо разложить прилагаемую силу по осям и определить максимальные моменты вокруг этих осей.

Определение прогиба

Для того, чтобы рассчитать прогиб двутавровой конструкции по деформациям, надо знать следующие параметры:

  • Расчетная нагрузка (кг/м);
  • Нормативная нагрузка (кг/м);
  • Длина перекрытия (Д);
  • Расчетное сопротивление (МПа).

Следует отметить, что прогиб двутавровой конструкции не должен превышать такие значения:

  • 1/250 (при использовании для междуэтажных перекрытий);
  • 1/200 (если применяются для перемычек, чердаков).

Чем заменить вычисление прогиба?

При возведении небольшого дома в частном строительстве не обязательно находить все величины для сложных расчетов. Некоторые параметры могут совсем не влиять на качество строительства. Например, для небольшого домика, дачи определяют одну величину из двух:

  • Прогиб двутавровой балки;
  • Несущая способность.

При этом прогиб в частном строительстве рассчитывать не обязательно. Однако его величина используется при выборе отделки для потолка, так как тяжелые материалы при неблагоприятных условиях лучше не применять.

Общая формула на прогиб

Важно понимать, что прогиб образуется в углах поворотов. Он зависит от назначения конструкции, ее габаритов, марки стали, физических характеристик изделия. Расчет проводится по многим формулам, но в общем виде уравнение выглядит так:

Fх = -0аX + Мx2/2ЕI + Ax3/6ЕI – qх4/24Е/

Однако правильное вычисление прогиба зависит от вида нагрузки. В данном случае расчет двутавровой конструкции предусмотрен для прогиба вниз. Это значит, что центр тяжести смещается по оси y. Если на перекрытие действуют разные силы, расчет на прогиб проводится на каждое из них. В конце вычислений все результаты суммируются.

Такие приемы позволяют определить параметры на прогиб при любых нагрузках. Однако делать такие вычисления не всегда целесообразно, так как эти величины не постоянно имеют значение. Например, для частного небольшого домика, дачи, прогиб рассчитывать не обязательно. 

Источник:

Расчет прогиба балки методом начальных параметров

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит  немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

  • E – модуль упругости;
  • I – момент инерции;
  • – прогиб сечения K;
  • VO – прогиб сечения O;
  • θO – угол поворота сечения О.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае , который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIVO:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθO всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: , VO и θO. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы.

Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть VO=0 и θO=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями.

Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров.  Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца.

Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·105 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см4). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать.

В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой.

Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

VA = 0 при x = 6м

θA = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (VO). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

Расчет балки на прочность: онлайн-калькуляторы, пример, последовательность действий

Расчет балки на изгиб, прогиб и прочность, включая калькулятор

Одной из важнейших задач для строителя считается расчет балки. Сегодня придумано немало средств, позволяющих решать данную задачу максимально быстро и точно. Наиболее удобными считаются онлайн-калькуляторы, которые за несколько секунд предоставляют необходимое решение. В данной статье мы разберем расчет балки на изгиб, прогиб, прочность с применением калькулятора.

Расчет балки на прогиб, калькулятор для которого можно найти в интернете, можно произвести следующими методами:

  • Рассчитать максимальную нагрузку, которую способна выдержать заданная схема;
  • Подобрать сечение;
  • Проверочный перерасчет по максимальным значениям напряжения.

Для наглядности следует рассмотреть общий принцип подбора сечения двутавра, расположенной на двух опорах. Загрузка происходит равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.

Последовательность действий

Для начала расчета балки на прогиб калькулятором необходимо определить точку, в которой будет максимальное значение момента. Все будет зависеть от того, какая схема представлена в задаче. Наиболее популярны следующие схемы:

  1. Заделка — шарнир;
  2. Заделка — заделка;
  3. Шарнир — шарнир;
  4. Заделка — свободный конец.

Остальные варианты являются в той или иной степени разновидностями вышеуказанных схем.

https://www.youtube.com/watch?v=KlFFsw1YMe8

Как только вы нашли изгибающий момент, по таблице ищется момент сопротивления Wx указанного сечения по формулам, которые указываются в соответствующих таблицах. При делении максимального момента изгиба на момент сечения можно отыскать максимальное значение напряжения, которое необходимо сравнить с напряжением, которое максимально выдерживает определяемая конструкция.

Сравнение полученных напряжений с напряжением материалов

Онлайн-расчет балки на прочность сопровождается сравнением полученного значения напряжения в сечении с максимально возможным. Здесь необходимо смотреть на таблицу материалов, из которых производятся такие конструкции.

Если материал пластичен, то максимальное напряжение схемы будет равно пределу текучести материала. К таковым относят алюминий, сталь, иные металлы. Хрупкие же материалы по типу чугуна имеют максимальное значение напряжения, равное пределу прочности. Для каждого конкретного материала имеется свое максимальное значение, которое можно найти в таблицах в специальной литературе.

Пример расчета

Предположим, что нам надо проверить на прочность двутавр номер 10. Его длина 2 метра, он жестко заделан в стену, человек массой 90 килограммов решил повиснуть на двутавре. Порядок решения здесь следующий:

  • Выбираем расчетную схему, в этом случае заделка — свободный конец;
  • Максимальное значение находится в заделке, двутавр имеет на всей длине одинаковое сечение. Тогда P = m*g = 90*10=0,9 кН, M = P*I= 1,8 кН*м;
  • Находим по таблице сортаментов для данного двутавра момент сопротивления;
  • Затем находим максимальные напряжения в балке б = M/W = 1,8 / 0. 0000397 = 45,34 Мпа;
  • Сравниваем с максимально допустимым напряжением, равным пределу текучести стали, из которой сделан двутавр. Так как 45,34 Мпа меньше 245 Мпа, то такой двутавр выдержит человека массой 90 килограммов.

Можно также решить и вторую задачу, связанной с нахождением максимальной массы человека, которую может выдержать данная балка. Здесь приравнивают значения предела текучести и напряжения в сечении балки, найти максимальный момент и затем наибольшую массу. Для более точного результата следует учитывать различные коэффициенты и брать двойной запас прочности.

Расчет прогиба балки онлайн-калькулятором достаточно быстрый и точный. Здесь выбирается одна из схем, затем набираются соответствующие числовые значения и происходит расчет по всем необходимым параметрам.

Необходимо указать значения моментов, изгибающих сил, длин участков. Итогом станут эпюры моментов и сил. Решение данными программами достаточно точное и позволяет оперативно посчитать силы и моменты для балок на прочность, изгибы и прогибы.

Преимуществом подобных средств является большой набор схем для расчета, быстрота, точность, простота применения. Однако для уточнения полученного результата надо произвести самостоятельное письменное решение.

В заключение можно сказать следующее: расчет балки на прочность можно произвести как вручную, так и с применением онлайн-калькуляторов. Их можно комбинировать, использовав один из них для проверки другого метода.

Рассчитать балку может понадобиться в разных случаях, особенно актуально это становится при строительстве.

Только правильно рассчитанная балка позволит построить или реконструировать сооружение с тем условием, что оно прослужит длительное время.

Также данный расчет полезен для всех тех, кто учится или имеет дело с техническими науками, ибо прикладная механика является неотъемлемой частью программы любого технического вуза. Удачных расчетов на прочность!

Расчет балки на прогиб – формулы, параметры и примеры решения

Расчет балки на изгиб, прогиб и прочность, включая калькулятор

Расчет балки на прогиб нужно проводить практически для любой конструкции, чтобы проверить ее надежность и прочность. Под влиянием внешних, внутренних факторов, природных явлений балка подвержена деформации. 

Балку сравнивают со стержнем, закрепленным на опорах. Чем больше опор, тем сложнее провести расчет самостоятельно. Основная нагрузка считается путем сложения сил, перпендикулярно направленных к сечению. 

Данный расчет – основы сопромата, помогает определить наивысшую деформацию. Значения показателей должны входить в рамки допустимых величин.

Виды балок

При возведении зданий используется балки разных конфигураций, размеров, профиля, характера сечения. Их изготавливают из металла и дерева. Для любого вида используемого материала нужен индивидуальный расчёт изгиба.

Виды балок:

  1. Деревянные – их используют в основном при строительстве индивидуальных построек. Они применяются при возведении полов, потолков, несущих перекрытий. Дерево – капризный материал и подвержено деформации. Для определения максимального изгиба, существенны такие параметры: используемый профиль, размер, нагрузка, характер поперечного сечения.

  2. Металлические – такие балки изготавливают из сплава металлов и сечение у них сложное. Поэтому особое внимание уделяется жесткости, а также прочности соединений. Балки из металла применяются в возведении многоэтажек, сооружений, требующих высокой прочности.

Прочность и жесткость балки

При проектировании следует учесть изгиб балок, чтобы конструкция была надежная, качественная, прочная и практичная.

На эти параметры влияют следующие факторы:

  • величина наружных нагрузок, их положение;
  • параметры, характер, нахождение поперечного сечения;
  • продольные величины;
  • материал;
  • число опор, метод их закрепления.

Выделяют 2 метода исчисления: простой – применяется увеличительный коэффициент, и точный – дополнительно включает пограничные подсчеты. 

Построение эпюр балки

Эпюра распределения величины нагрузки на объект:

Расчет на жесткость

Алгоритм исчисления:

В формуле обозначены:

  • M – max момент, возникающий в брусе;
  • Wn,min – момент сопротивления сечения (табличный показатель);
  • Ry – сопротивление на изгиб (расчётный показатель);
  • γc – показатель условий труда (табличный показатель).

Такой расчет не трудоемок, но для более верного значения требуется следующее:

  • рабочий план объекта;
  • определение характеристик балки, характер сечения;
  • определение max нагрузки, воздействующей на брус;
  • оценка точки max прогиба;
  • проверка прочности max изгибающего момента.

Расчет моментов инерции и сопротивления сечения

Алгоритм исчисления:

Где:

  • J – момент инерции сечения;
  • W – момент сопротивления.

Для определения данных параметров необходимо учитывать сечение по грани разреза. Если момент инерции возрастает, величина жесткости также возрастает.

Нахождение максимальной нагрузки и прогиба

Формула для вычисления:

Здесь обозначены:

  • q – нагрузка равномерно-распределенная;
  • E – гибкость (табличный показатель);
  • l – длина;
  • I – момент инерции сечения.

Нагрузки учитываются статические и периодические.

Расчет на прогиб и его особенности

Он необходим для всех перекрытий при высоких эксплуатационных нагрузках. 

При применении соответствующих коэффициентов, придерживаются следующего:

  • балка, держащаяся на одной жесткой и одной шарнирной опоре, подвергающаяся воздействию сосредоточенной нагрузки;
  • балка, держащаяся на жесткой и шарнирной опоре, подвергающаяся воздействию распределенной нагрузки;
  • нагрузка консольного типа;
  • воздействие комплексной нагрузки.

Пример расчет балки на прогиб

Рассмотрим задачу из курса сопромата.

Дано: балка четырехугольного сечения 20 на 30 см; поперечная сила Q = 19 кН; изгибающий момент М = 28 кНм. 

Необходимо рассчитать напряжение: нормальное и в пределе К, отдаленной на 11 см от оси, узнать прочность бруса из дерева, при [σ] = 10 МПа, [τ] = 3 МПа.

Решение.

Чтобы узнать σ(К), τ(К), σmax, τmax определяем значение осевого момента инерции общего сечения IН.О., осевого момента сопротивления WН.О., статического момента отсеченного ряда и статического момента середины сечения Smax:

Из этого следует:

Определение прочности по нормальному напряжению:

Определение прочности по касательному напряжению:

Задача решена.

При проектировании конструкций важно соблюдать все физико-механические вычисления на прочность. Удобно и качественно произвести расчеты может онлайн, что существенно сократит временные сроки. 

Калькулятор выполняет подробный подсчет на основе формул, эпюр усилий, подбирает номер сечения металлической балки из прокатных профильных, двутавровых материалов, а также из металлических труб.

Расчет двутавра на прогиб и изгиб

Расчет балки на изгиб, прогиб и прочность, включая калькулятор

Двутавр довольно редко применяется в частном строительстве в силу своей формы. Поэтому используется он лишь тогда, когда невозможно применение других профилей, например, уголка или швеллера. Связано это с тем, что двутавр может воспринимать гораздо большую нагрузку, чем перечисленные профили.

1. Калькулятор

2. Инструкция к калькулятору

Если Вам нужна именно мощная балка и двутавр рассматривается в качестве одного из основных вариантов, то в подборе профиля данный калькулятор будет не лишним. С его помощью Вы можете рассчитать двутавр не только на изгиб (по несущей способности), но и на прогиб (по деформациям).

Калькулятор устроен таким образом, чтобы Вы одновременно могли рассчитывать сразу несколько видов двутавров. Это позволит Вам за одно действие выбрать наиболее подходящий профиль между следующими двутаврами: колонным (ГОСТ 26020-83), с уклоном полок (ГОСТ 8239-89), дополнительной серии (ГОСТ 26020-83), нормальным (26020-83), широкополочным (ГОСТ 26020-83) и специальной серии (19425-74*).

Расчет двутавра на прогиб и изгиб можно производить для следующих типов балок:

  • Тип 1 – однопролетная балка с приложенной на нее равномерно распределенной нагрузкой, которая шарнирно оперта.
  • Тип 2 – консоль с жесткой заделкой на одном из концов, на которую приложена равномерно распределенная нагрузка.
  • Тип 3 – однопролетная балка с консолью с одной стороны, на которую также приложена равномерно распределенная нагрузка.
  • Тип 4 – однопролетная шарнирно опертая балка с приложенной на нее сосредоточенной силой.
  • Тип 5 – то же самое, что и тип 4 только с двумя сосредоточенными силами.
  • Тип 6 – консоль с жесткой заделкой, на которую приложена сосредоточенная сила.

Примечание: в случае, если Вам необходимо еще рассчитать вес двутавра и затраты на его покупку, на данном сайте есть калькулятор и для этого.

Инструкция к калькулятору

Обращаю ваше внимание, что в нецелых числах необходимо ставить точку, а не запятую, то есть, например, 5.7 м, а не 5,7. Также двутавр необходимо проверять на устойчивость (на заваливание от момента).

Это можно сделать с помощью калькулятора, ссылка на который расположена выше (в списке “Калькуляторы по теме”).

Если что-то не понятно, задавайте свои вопросы через форму комментариев, расположенную в самом низу. 

Исходные данные

Расчетная схема:

Длина пролета (L) – минимальное расстояние между двумя крайними опорами или длина консоли.

Расстояния (A и B) – расстояния от опор до мест приложения нагрузок. Для 3 схемы А равна длине консоли балки, опирающейся на 2 опоры.

Нормативная и расчетная нагрузки – нагрузки, на которые рассчитывается квадратная труба. Рассчитать их можно с помощью следующих материалов:

Fmax  – максимально возможный прогиб согласно таблицы E.1 СНиПа “Нагрузки и воздействия”. Некоторые из них выписаны в таблицу 1.

Количество двутавров – этот показатель введен на случай, если балку перекрытия придется усилить еще такой же, положив ее рядом. То есть, если у вас одна балка, то указывается “один”, если две рядом, то необходимо выбрать “две”.

Расчетное сопротивление Ry – для каждой марки стали он свой. Наиболее распространенные значения приведены в таблице 2.

Размер двутавра – здесь следует выбрать профиль двутавра по тому или иному ГОСТу.

Результат

Wтреб – требуемый момент сопротивления профиля.

Fmax – максимальный прогиб в сантиметрах, в зависимости от указанных в исходных данных ограничениях.

Вес балки – масса одного погонного метра того или иного двутавра.

Расчет по прочности:

Wбалки – момент сопротивления выбранной трубы по ГОСТ 30245-2003. Если Wбалки > Wтреб, значит прочность балки обеспечена.

Запас – если в данной графе значение с минусом (-), то балка по прочности не проходит, а если с плюсом (+), то здесь показано, на какой процент балка имеет запас прочности.

Расчет по прогибу:

Fбалки – прогиб, возникающий у рассчитываемой балки под действием нормативной нагрузки. Здесь стоит отметить, что если он превышает допустимый Fmax,то это не значит, что двутавр сломается. Просто прогнутая балка может выглядеть некрасиво. Главное, чтобы выполнялось условие по прочности. 

Запас – то же самое, что и по отношению к моменту сопротивления.

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.